domingo, 7 de septiembre de 2008

Equivalencia de tasas

*Se deposita $1.000.000 en una entidad financiera que paga el 30% anual, con capitalización mensual; cuánto dinero se tendrá al final de un año?

P= 1.000.000 i= 2,5 % mensual n= 12 F= ?


F= P(1+i)n F= 1.000.000(1+0,025)12 F= 1.000.000(1,34488882)

F= 1.344.889 El valor obtenido con capitalización mensual

Ahora si tomamos un valor presente de $1.000.000 y un valor final de $1.344.889, para un periodo de un año, cuál fue la verdadera tasa de interés?

F= 1.344.889 P= 1.000.000 n=1 año i=?

F= P(1+i)n F/P= (1+i)n 1.344.889/1.000.000=(1+i)1

1.344.889/1.000.000=(1+i) 1,344889-1=i i= 34,49% anual

El interés efectivo (34,49%) es la verdadera tasa de interés que se obtiene de una inversión o que se incurre por un préstamo. Pude ser calculado para cualquier periodo de tiempo, por lo que también se denomina tasa periódica. La representaremos por i.

El interés nominal (30%) es una simple tasa de interés de referencia a partir de la cual y dependiendo de la condición de capitalización se obtiene una efectiva. La representaremos por j.

La costumbre comercial es expresar la tasa de interés en forma anual, y si expresamente no se dice que ésta es una tasa efectiva (o periódica) es porque es nominal.

La tasa nominal (anual) es igual a la efectiva multiplicada por el número de periodos que hay en un año(m). j= i * m ó i= j/m. La tasa nominal se emplea en el interés simple porque ésta tasa no tiene en cuenta la capitalización de los intereses.
Un banco otorga el 3% periódico mensual, cuál es la nominal
j= 3% *12 j= 36% nominal (capitalización mensual)

Se invierten $200.000 en un CDT de 6 meses, en un banco que paga el 28,8% NM. Determinar el monto al vencimiento.

i= 28,8/12 i= 2.4% per. Men. P=200.000 n= 6 meses i= 2,4% men

F= P(1+i)n F= 200.000(1+0.024)6 F= 230.584,30

En 18 meses debo pagar la suma de $2.000.000, cuál debe ser el valor del depósito que se haga hoy en una cuenta que paga el 8% per. trim. para poder retirar esa suma?
P= ? F= 2.000.000 i= 8% trim n= 6 (trimestres)

F= P(1+i)n P= 2.000.000/(1+0.08)6 P= 1.260.339,25



Para haber podido calcular la tasa efectiva se requirieron dos datos: la tasa nominal anual (30%) y la condición de capitalización (mensual); en el ejemplo inicial la tasa de liquidación de los intereses fue el 2,5% mensual y es sobre esta tasa que debe calcularse cualquier tipo de tasa efectiva para periodos diferentes al mes.

Cuando, P= 1.000.000 i= 2,5 % mensual n= 12;

F= 1.344.889

1.344.889= 1.000.000(1+0,025)12

Pero 1.344.889, es P (1.000.000) + I (344.889)

1.000.000+344.889= 1.000.000(1+0,025)12

Pero 344.889 son iguales a P por la tasa efectiva

1.000.000+ (1.000.000*34,49%)= 1.000.000(1+0,025)12

1.000.000 (1+34,49%)=1.000.000(1+0,025)12

P (1+i)= P (1+j/m) m (1+i)= (1+j/m) m i= (1+j/m) m -1


Hallar el interés efectivo anual, a partir del 36% nominal anual si la capitalización es mensual, bimestral, trimestral, semestral y anual.

Base mensual:
i = (1+j/m) m -1 i (1+0.36/12)12-1 i= (1+0.03)12-1

i= 1,425761-1 i= 0,425761 i= 42,5761% efectivo anual

Base bimestral:
i = (1+j/m) m -1 i (1+0.36/6)6-1 i= (1+0.06)6-1

i= 1,418519-1 i= 0,418519 i= 41,8519% efectivo anual

Base Trimestral:
i = (1+j/m) m -1 i (1+0.36/4)4-1 i= (1+0.09)4-1

i= 1,411582-1 i= 0,411582 i= 41,1582% efectivo anual


Base semestral:
i = (1+j/m) m -1 i (1+0.36/2)2-1 i= (1+0.18)2-1

i= 1,3924-1 i= 0,3924 i= 39,24% efectivo anual


Base anual:
i = (1+j/m) m -1 i (1+0.36/1)1-1 i= (1+0.36)1-1

i= 1,36-1 i= 0,36 i= 36% efectivo anual

La tasa efectiva va disminuyendo a medida que el periodo de capitalización aumenta

Cuando el periodo de capitalización es un año la tasa efectiva anual es igual a la nominal anual; en cualquier otro caso la tasa efectiva anual será mayor que la nominal anual.

Cuanto más cortos sean los periodos de capitalización en el periodo, mayor será la tasa efectiva anual.

Calcular el interés efectivo mensual, trimestral, semestral y anual equivalente al 30% capitalizado mensualmente.
En este ejercicio lo que nos piden es el interés efectivo para cada uno de los periodos

Mensual:
i = (1+j/m) m -1 i= (1+0,30/12)1 -1 i = (1+0.025) -1

i= 0.025 i= 2,5% efectivo mensual

Trimestral:
i = (1+j/m) m -1 i= (1+0,30/12)3 -1 i = (1+0.025)3 -1

i= 1.076891-1 i= 0.076891 i= 7,6891% efectivo trimestral

Semestral:
i = (1+j/m) m -1 i= (1+0,30/12)6 -1 i = (1+0.025)6 -1

i= 1.159693-1 i= 0.159693 i= 15,9693% efectivo semestral

Anual:

i = (1+j/m) m -1 i= (1+0,30/12)12 -1 i = (1+0.025)12 -1

i= 1.344889-1 i= 0.344889 i= 34,4889% efectivo anual

Estas cuatro tasas halladas, son efectivas y equivalentes entre sí, lo que significa que es lo mismo prestar (o invertir) al 2,5% mensual, 7,6891% trimestral, 15,9693% semestral o 34,4889% anual. Por tanto tasas equivalentes son aquellas que teniendo diferente efectividad producen el mismo monto al final de un año.

Encontrar la tasa periódica (efectiva) mensual, bimestral, trimestral y semestral equivalente a una tasa efectiva anual del 49,35%

i = (1+j/m) m -1 0.4935= (1+j/m) m -1 1,4935= (1+j/m) 12

12√ (1,4935)=1+j/m 1.033992-1= j/m j/m= 0,033992

Tasa periódica mensual 3,3992%


i = (1+j/m) m -1 0.4935= (1+j/m) m -1 1,4935= (1+j/m) 6

6√ (1,4935)=1+j/m 1.069139-1= j/m j/m= 0,069139

Tasa periódica bimestral 6,9139%


i = (1+j/m) m -1 0.4935= (1+j/m) m -1 1,4935= (1+j/m) 4

4√ (1,4935)=1+j/m 1.105481-1= j/m j/m= 0,105481

Tasa periódica trimestral 10,5481%

i = (1+j/m) m -1 0.4935= (1+j/m) m -1 1,4935= (1+j/m) 2

2√ (1,4935)=1+j/m 1.222088-1= j/m j/m= 0,222088

Tasa periódica semestral 22,2088%

Hallar la tasa periódica semestral equivalente al 5,3% trimestral

i = (1+j/m) m -1 i= (1+0.053) 2 -1 i= (1,053)2-1

i= 1.108809-1 i= 0.108809 i= 10,8809 % semestral

Hallar la tasa efectiva trimestral equivalente al 2,4% bimestral

i = (1+j/m) m -1 i= (1+0.024) 1,5 -1 i= (1,024)1,5-1

i= 1.036215144-1 i= 0.036215144 i= 3,6215 % efectiva Trimestral

Hallar la tasa efectiva bimestral equivalente al 11,8% semestral

i = (1+j/m) m -1 0.118= (1+j/m) 3 -1 3√ (1,118)= 1+j/m

j/m= 1.0378803-1 j/m= 0.0378803 j/m= 3,7880 % bimestral

Hallar la tasa efectiva mensual equivalente al 7% trimestral

i = (1+j/m) m -1 0.07= (1+j/m) 3 -1 3√ (1,07)= 1+j/m

j/m= 1.02280912-1 j/m= 0.02280912 j/m= 2,2809 % mensual



EJERCICIOS PROPUESTOS

1) a que tasa efectiva mensual se triplica un capital en 2 años y medio?

2) en cuanto tiempo se duplica un capital al 24% nominal mes vencido?

3) Si se depositan $500.000 hoy y $1.500.000 dentro de 4 años al 20% anual capitalizado semestralmente, cuanto se tendrá dentro de 10 años.

4) Una persona invierte $5.000.000 en una entidad que reconoce el 42,58% efectivo anual, pero el interés se paga mensualmente. Si la persona retira el dinero al cabo del primer mes, cuánto dinero recibirá?

5) en una entidad financiera el capital depositado se duplica cada dos años. Qué tasa de interés efectiva trimestral paga dicho banco?. Y en cuantos años se convertirán $25.000 en $1.600.000 a dicha tasa trimestral encontrada?

6) un acreedor de una sociedad en liquidación acepta que se le pague de contado el 75% del valor de dos pagarés a cargo de la sociedad. Uno de $6.000.000 está vencido hace 14 meses y el otro de $7.500.000, valor que incluye los intereses correspondientes, vence dentro de 10 meses. Si el interés que devengan los mencionados documentos es el 30% nominal anual capitalizado trimestralmente, hallar la suma que recibe el acreedor.



SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

1) P=1 F= 3 n= 30 i=?

3= 1(1+i)30 i= 3/(1+i)30 -1 i= 0.0373 3,73% per. men.

2) P= 1 F= 2 j= 24% MV n=?

i= j/m i= 0.24/12 i= 0.02

F= P(1+i)n n= Log (F/P)/Log (1+i)

n= Log (2/1)/ Log (1+0.02) n= Log 2/Log 1.02

n= 35,0027 n= 35 meses


3) j= 20% anual Cap. Sem. j= 20% anual cap. sem
P= 500.000 P= 1.500.000
F= P(1+i)n F= P(1+i)n
F= 500.000(1+0.2/2)20 F= 1.500.000(1+0.2/2)12
F= 500.000(1.1) 20 F= 1.500.000(1.1) 12
F= 500.000(6.7275) F= 1.500.000(3.1384)
F= 3.363.750 F= 4.701.000
F=3.363.750+4.701.000
F= 8.064.301

4) P= 5.000.000 i= 42,58% anual (interés se cancela mensual) n= 1 mes F= ?

i =(1+j/m) m -1 0.4258= (1+j/m)12-1 12√1.4258= 1+j/m 1.03000-1=j/m

j/m= 3% mensual I=5.000.000*3% I= 150.000


5) P= 1 F=2 n= 8 trimestres
F= P( 1+i)n 2=1(1+i)8 8√2=1+i 1.09050773-1=i 0.0905077=i i= 9,0508% trim

P= 25.000 F= 1.600.000 i= 9.0508 efec trim. n=?

F= P( 1+i)n 1.600.000=25.000(1+0.09058)n 1.600.000/25.000=(1+0.09058)n

Log 64= n Log (1.09058) n= 47.96

n= 48 trimestres, (12 años)


6) j= 30% cap. Trim

i=(1+j/m)n -1 i= (1+0.3/4)1/3-1 i= (1.075)1/3 -1 i=1,02439-1

i= 0.02439 i= 2.44% efec. mensual


P= 6.000.000 n= 14 meses i= 2.44% efect. mensual F=?

F= P(+i)n F=6.000.000(1+0.0244)14 F= 6.000.000(1.40143828)

F= 8.408.630 Pagaré 1

F= 7.500.000 n= 10 meses i=2.44% efec. Mensual P=?

F= P(+i)n 7.500.000= P (1+0.0244)10 P=7.500.000/1.27261107

P= 5.893.395 Pagaré 2


Total pagarés 14.302.025
Como acepta hoy el 75%, el valor recibido es 10.762.518,75